【中考技巧】动圆解题欣赏03-优等生数学引导

今年中考，数学的第14题是命题人有意设计的第一道拦路索，正如命题人所愿——拦住了所有思维已经定势的学生。这道题目让考生真真正正的明白了初中学习和小学学习的本质区别，这道题目也让老师深深切切的意识到自己的学生缺少什么。虽然见不到命题人的解释，但是他们对中学老师教学中存在的问题、中学生学习中存在的问题，却是明察秋毫孤门一辉。我们为命题人的真功夫点赞，为命题人的品格点赞，为三秦大地有这样的专家点赞。
【题目】如图在四边形ABCD中黄庭坚传，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ？季天笙

在小学，要求四边形的面积，只需要把四边形用对角线分割为两个三角形，再求出每个三角形的面积灵木瞳。
解法一：超前学习的回报。
本题中自然分割的两个三角形仅仅知道公共底边，其他边都不好表示，学生陷入疑惑，更为难受的是两边相等和两个直角的条件无法使用。……①
有一些记忆能力强的孩子喜欢超前学，在初中就学完了高中的内容，接着①继续，
在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，
可见∠DAC+∠DCA=∠B。
在△ACD中，正弦定理AD/sin∠DCA=6/ sin∠D=6/ sin(180°-∠B) =6/ sin∠B，
在△ABC中，正弦定理AB/sin∠BCA=6/ sin∠B，
又由于∠DCA和∠BCA都是锐角，所以∠DCA=∠BCA=45°官谋 。……②
S△ACD+ S△ACB
=0.5*AC*AD*sin∠DAC + 0.5*AC*AB*sin∠BAC
=3*AB*（sin∠DAC + sin∠BAC）
=3*AB*（sin∠DAC + cos∠DAC）
=3√2*AB*sin(∠DAC +45°）
=6*AB*sin∠B
过A作BC的垂线，垂足为E，在△ABE中，AB*sin∠B=AE，
在△ACE中，AE = AC*sin45°=3√2
所以，S△ACD+ S△ACB=18。
解法二：源于课本高于课本
接着②继续。
由于∠BCD=90°，且被平分，保持C点附近的图形不动。过A点分别作BC和CD的垂线，原来的四边形就被割补为正方形水上步行球。
解法三：拓展学习的天堂
接着①继续。
为了使用两个直角，连接BD，对角线BD把四边形分成了两个直角三角形，每一个的面积似乎容易表示，实际上每一个边都和已知条件AC=6挂不上。仅凭课堂学到的知识和技能，似乎陷入难以脱离的沼泽。
在学校，学有余力的学生经常参与数学拓展培训。由于∠BAD=∠BCD=90°，直角对直径，所以，四边形ABCD是以BD为直径圆的内接四边形。……③

面积和边长相关，和四条边相关的就想到托勒密定理：AB*CD+BC*AD=AC*BD
为了叙述方便，我们设AB=AD=x，则BD=√2x窦天宝传奇 ，依据托勒密定理得到：
CD*x+BC*x=6*√2x,即：CD+BC=6*√2。
面积是要CD与BC之积的。所以对上式平方：CD2+BC2+ 2CD*BC=72
由勾股定理知：CD2+BC2=BD2 =AB2+AD2，上式变为2x2+4* CD*BC=72
即就是：4S△ABD+4S△BCD=72。所求为18。
解法四：聪明才智小试牛刀
活在世上的每一个人都是聪明的，有的人把高智商用在发财致富，有的人把高智商用在给别人使绊，有的人把高智商用在逗别人玩。中学生应该用高智商去快速博得高分。
接着③继续。
要求面积，条件中没有变量老婆耍家，只有一个常数6，可以用极限法去求这个恒定的面积。
在这个图形中，△ABD是等腰直角三角形，我们固定C点，弦AC长度确定，慢慢把A点向右移动向直线CO靠拢，要A点在圆周上，则动圆的圆心就会向上，动圆的半径就会变小。当A点移动到CO直线上，四边形就变为正方形，对角线长度是6，所以面积是18。
解法五：题海战的灵魂，补习生的福音。
采用比较多的可能是：由AB=AD和∠BAD=90°，联想到把△ACD绕A点顺时针旋转90°，将原来的四边形重新构造为等腰直角三角形，要用邻角和为180°说明三点共线。
超过7分钟没有得到答案的考生巴能军，解决问题的能力或应变能力都有缺憾，被这道题目绊倒的考生，分数大约是105分。2分钟拿下本题的学生，分数多在115以上。可见这道题目是实实在在的拦路索。方法五多为老师讲授的，要求学生时时意识到旋转的诱因，对学生的联想能力要求较高。方法四是最为巧妙的阿吉太，要求学生的数学悟性极高，转化能力达到炉火纯青的地步。
由于圆的概念在初三第二学期，出现的太晚了，建议想得高分的学生，提前接触圆。圆是很简单的东西，一旦动起来，奇妙无比。